5. Точки Ми N – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.

Ответ: Доказано

• В параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны и равны.
• Точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно, поэтому AM = (1/2)AD и CN = (1/2)BC. Следовательно, AM = CN.
• Так как AM || CN и AM = CN, четырехугольник AMCN является параллелограммом.
• Следовательно, AN || MC.
• Пусть точка E — пересечение AN и BD, а точка F — пересечение MC и BD.
• Рассмотрим треугольник BCE. Так как N — середина BC и NF || CE, то F — середина BE. Следовательно, BF = FE.
• Рассмотрим треугольник ADF. Так как M — середина AD и ME || AF, то E — середина DF. Следовательно, DE = EF.
• Таким образом, BD = BF + FE + ED, и так как BF = FE = ED, то прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.

Ответ: Доказано