114 Точки М и Р – середины сторон AD и ВС параллело- грамма ABCD. Отрезки ВМ и DP пересекают диагональ АС в точ- ках Е и Н. Найдите длины отрезков АЕ, ЕН и НС, если АС = 18 см. Решение. 1) Проведём диагональ BD и обозначим пересе- чения диагоналей буквой О. По свойству диагоналей параллело- грамма А0 = = см. В треугольнике ABD отрезки АО и ВМ являются медианами. По свойству медиан AE: EO = : . Следовательно, ЕО = AO : = : 3 = (см). AE = - EO = = (см). 2) Так как СО и DP треугольника CBD, ACBD = Δ. и СО = , то, рассуждая аналогично, получим CH = AE = = (см) и НО = EO = (см), следовательно, ЕН = (см). Ответ.

1) Проведём диагональ BD и обозначим точку пересечения диагоналей буквой О. По свойству диагоналей параллелограмма $$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$$ см.

В треугольнике ABD отрезки АО и ВМ являются медианами. По свойству медиан $$AE: EO = 2 : 1$$. Следовательно, $$EO = \frac{1}{3}AO = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$$ (см). $$AE = AO - EO = 9 - 3 = 6$$ (см).

2) Так как СО и DP медианы треугольника CBD, $$ΔCBD = ΔABD$$ и $$CO = AO = 9$$, то, рассуждая аналогично, получим $$CH = AE = 6$$ (см) и $$НО = EO = 3$$, следовательно, $$EH = AC - AE - CH = 18 - 6 - 6 = 6$$ (см).

Ответ: AE = 6 см, ЕН = 6 см, НС = 6 см.