Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 8 и 14 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos∠BAC =√7 4.

Решение:

Пусть О – центр окружности, r – её радиус, а K – точка касания окружности с прямой AB.

По свойству касательной и секущей, проведённых из точки A к окружности, имеем:

\[AK^2 = AM \cdot AN\]

Подставляем известные значения:

\[AK^2 = 8 \cdot 14 = 112\] \[AK = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\]

Рассмотрим треугольник AKO. Он прямоугольный, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Тогда:

\[cos∠BAK = \frac{AK}{AO}\]

Выражаем AO:

\[AO = \frac{AK}{cos∠BAK}\]

Подставляем известные значения:

\[AO = \frac{4\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = 4\sqrt{7} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = 16\]

Пусть H – проекция точки O на AC. Тогда AH = AO \cdot cos∠BAC:

\[AH = 16 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 4\sqrt{7}\]

Так как точка M лежит между точками A и H, можем найти MH:

\[MH = AM - AH = 8 - 4\sqrt{7}\]

Так как O, H, M лежат на одной прямой, то OH = r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHM:

\[OM^2 = OH^2 + MH^2\]

OM = AO - AM = 16 - 8 = 8

\[64 = r^2 + (8 - 4\sqrt{7})^2\] \[64 = r^2 + 64 - 64\sqrt{7} + 16 \cdot 7\] \[64 = r^2 + 64 - 64\sqrt{7} + 112\] \[0 = r^2 - 64\sqrt{7} + 112\] \[r^2 = 64\sqrt{7} - 112\] \[r = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\] \[r^2= 112\] \[AH = |AM - AO| = |8 - 16| = 8\] \[AO = \frac{r}{sin(90-cos^{-1}(\frac{\sqrt{7}}{4}))} = \frac{r}{sin(sin^{-1}(\frac{3}{4}))} = \frac{4r}{3}\] \[AM \cdot AN = (AK)^2\] \[8 \cdot 14 = (AK)^2\] \[AK = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\] \[\frac{AK}{AO} = cos\angle BAC\] \[\frac{4\sqrt{7}}{AO} = \frac{\sqrt{7}}{4}\] \[AO = 16\] \[AO = 16 = \frac{4r}{3}\] \[r = 12\]

Ответ: 12

Проверка за 10 секунд: Радиус окружности равен 12.

Читерский прием: Всегда используйте свойство касательной и секущей для решения задач с окружностями и касательными.