Точки D, E, F и K — середины рёбер AB, MB, MC и AC тетраэдра MABC соответственно, BC = 42 см, AM = 36 см (рис. 100). Докажите, что точки D, E, F и K являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.

Решение:

По условию, точки D, E, F и K — середины рёбер AB, MB, MC и AC тетраэдра MABC соответственно.

Рассмотрим треугольник ABC:

• Так как D — середина AB, а K — середина AC, то DK является средней линией треугольника ABC. Следовательно, DK || BC и DK = 1/2 * BC.

Рассмотрим треугольник MBC:

• Так как E — середина MB, а F — середина MC, то EF является средней линией треугольника MBC. Следовательно, EF || BC и EF = 1/2 * BC.

Из того, что DK || BC и EF || BC, следует, что DK || EF.

Из того, что DK = 1/2 * BC и EF = 1/2 * BC, следует, что DK = EF.

Четырехугольник DEFK имеет две противоположные стороны DK и EF, которые параллельны и равны. Это означает, что DEFK является параллелограммом.

Теперь найдем периметр параллелограмма DEFK.

Из условия задачи:

• BC = 42 см
• AM = 36 см

Мы уже установили, что DK = EF = 1/2 * BC.

• DK = EF = 1/2 * 42 см = 21 см.

Теперь рассмотрим стороны DE и FK.

Рассмотрим треугольник ABM:

• Так как D — середина AB, а E — середина MB, то DE является средней линией треугольника ABM. Следовательно, DE || AM и DE = 1/2 * AM.

Рассмотрим треугольник AMC:

• Так как K — середина AC, а F — середина MC, то FK является средней линией треугольника AMC. Следовательно, FK || AM и FK = 1/2 * AM.

Из того, что DE || AM и FK || AM, следует, что DE || FK.

Из того, что DE = 1/2 * AM и FK = 1/2 * AM, следует, что DE = FK.

Вычислим длину сторон DE и FK:

• DE = FK = 1/2 * AM = 1/2 * 36 см = 18 см.

Периметр параллелограмма DEFK равен сумме длин всех его сторон:

• P = DE + EF + FK + DK
• P = 18 см + 21 см + 18 см + 21 см
• P = 2 * (DE + DK)
• P = 2 * (18 см + 21 см)
• P = 2 * 39 см
• P = 78 см.

Ответ: Периметр параллелограмма DEFK равен 78 см.