110 Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и CDB. У них AB = CD (по условию), BD – общая сторона. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠ABD = ∠CDB. б) В прямоугольном треугольнике ABD сумма острых углов равна 90°. Значит, ∠ABD = 90° - ∠ADB = 90° - 44° = 46°. Так как ∠ABD = ∠CDB, то и ∠CDB = 46°. Тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC. Рассмотрим четырехугольник ABCD, сумма углов которого равна 360°. ∠BAD + ∠BCD + ∠ABC + ∠ADC = 360°. Так как ∠BAD = ∠BCD = 90°, то ∠ABC + ∠ADC = 180°. ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 44° + ∠BDC. Из равенства треугольников ABD и CDB следует, что ∠ADB = ∠CBD = 44°. Значит, ∠ABC = 180° - (44° + ∠BDC) = 136° - ∠BDC. В треугольнике BCD: ∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180°. 90° + 46° + ∠BDC = 180°, отсюда ∠BDC = 44°. Тогда ∠ABC = 136° - 44° = 92°. Ответ: ∠ABC = 92°