110 Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендику- ляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ДАВС, если ∠ADB = 44°. 111 Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на от- резок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что △ABD = △ECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°. 112 В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. 113 Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.

110.

a) Дано: точки A и C лежат по одну сторону от прямой a, AB ⊥ a, CD ⊥ a, AB = CD.

Доказать: ∠ABD = ∠CDB.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и CDB. У них AB = CD (по условию), BD – общая сторона. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠CDB.

б) Дано: ∠ADB = 44°.

Найти: ∠ABC.

Решение:

Так как ∠ABD = ∠CDB, а ∠ADB = 44°, то ∠CBD = ∠ADB = 44° (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 90° - 44° + 44° = 90°.

Ответ: ∠ABC = 90°.

111.

a) Дано: AD – медиана треугольника ABC, DE = AD, точка E соединена с точкой C.

Доказать: △ABD = △ECD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и ECD. AD = DE (по условию), BD = DC (так как AD – медиана), ∠ADB = ∠CDE (как вертикальные). Следовательно, треугольники ABD и ECD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

б) Дано: ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

Найти: ∠ACE.

Решение:

Так как △ABD = △ECD, то ∠ABD = ∠ECD = 40°. ∠ACE = ∠ACD - ∠ECD = 56° - 40° = 16°.

Ответ: ∠ACE = 16°.

112.

Пусть x – длина основания равнобедренного треугольника, тогда 2x – длина боковой стороны. Периметр равен сумме длин всех сторон: x + 2x + 2x = 50 см. 5x = 50 см x = 10 см (основание). 2x = 2 × 10 = 20 см (боковая сторона).

Ответ: основание равно 10 см, боковые стороны равны 20 см.

113.

Пусть AB – боковая сторона равнобедренного треугольника ABC, а BC – его основание. Периметр треугольника ABC равен AB + AB + BC = 2AB + BC = 40 см. Так как треугольник BCD равносторонний, то BC = CD = BD, а его периметр равен 3BC = 45 см. Отсюда BC = 45 / 3 = 15 см. Подставим значение BC в первое уравнение: 2AB + 15 = 40 2AB = 40 - 15 2AB = 25 AB = 12,5 см.

Ответ: AB = 12,5 см, BC = 15 см.