Точки А (-1;0;2), В (0;1;-1), C (3;0;-2), D (2;-1;1), F (-1;-1;3) являются вершинами пирамиды. Найти: a) канонические и параметрические уравнения ребра АВ; b) уравнение грани ABCD; c) угол между ребром AF и гранью ABCD; d) уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины F; e) расстояние от вершины пирамиды F до основания ABCD; f) проекцию вершины F на плоскость основания ABCD; g) в плоскости Оху построить треугольник АВС. Координаты вершин этого треугольника – две первые координаты точек А, В, С в задаче 3. Составить уравнение стороны АВ и указать угловой коэффициент этой прямой.

Решение:

Даны вершины пирамиды: \( A(-1;0;2), B(0;1;-1), C(3;0;-2), D(2;-1;1), F(-1;-1;3) \).

а) Канонические и параметрические уравнения ребра AB:

Вектор \( \vec{AB} \) : \( \vec{AB} = B - A = (0 - (-1); 1 - 0; -1 - 2) = (1; 1; -3) \).

Канонические уравнения: \( \frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 2}{-3} \) или \( \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-3} \).

Параметрические уравнения:

\( x = -1 + 1t \) \( y = 0 + 1t \) \( z = 2 - 3t \)

или

\( x = -1 + t \) \( y = t \) \( z = 2 - 3t \), где \( t \in \mathbb{R} \).

b) Уравнение грани ABCD:

Для уравнения грани ABCD нам нужны три вектора, лежащих в плоскости, например \( \vec{AB} \), \( \vec{AD} \) и нормальный вектор \( \vec{n} \) к плоскости.

\( \vec{AB} = (1; 1; -3) \).

\( \vec{AD} = D - A = (2 - (-1); -1 - 0; 1 - 2) = (3; -1; -1) \).

Нормальный вектор \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD} \):

\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 - 3) - \mathbf{j}(-1 - (-9)) + \mathbf{k}(-1 - 3) = -4\mathbf{i} - 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = (-4; -8; -4) \).

Можно взять упрощенный нормальный вектор \( \vec{n'} = (1; 2; 1) \) (разделили на -4).

Уравнение плоскости ABCD (используя точку A и нормальный вектор \( \vec{n'} \)):

\( 1(x - (-1)) + 2(y - 0) + 1(z - 2) = 0 \)

\( 1(x + 1) + 2y + 1(z - 2) = 0 \)

\( x + 1 + 2y + z - 2 = 0 \)

\( x + 2y + z - 1 = 0 \).

c) Угол между ребром AF и гранью ABCD:

Вектор ребра \( \vec{AF} \): \( \vec{AF} = F - A = (-1 - (-1); -1 - 0; 3 - 2) = (0; -1; 1) \).

Нормальный вектор грани ABCD: \( \vec{n} = (1; 2; 1) \).

Угол \( \alpha \) между ребром и гранью находится по формуле:

\( \sin \alpha = \frac{| \vec{AF} \cdot \vec{n} |}{| \vec{AF} | | \vec{n} |} \).

\( \vec{AF} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(2) + (1)(1) = 0 - 2 + 1 = -1 \).

\( | \vec{AF} | = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \).

\( | \vec{n} | = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \).

\( \sin \alpha = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \).

\( \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \).

d) Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины F:

Высота из F перпендикулярна плоскости основания ABCD. Значит, направляющим вектором высоты является нормальный вектор плоскости ABCD: \( \vec{v} = \vec{n} = (1; 2; 1) \).

Уравнение высоты, проходящей через точку F(-1;-1;3) с направляющим вектором (1;2;1):

Канонические уравнения: \( \frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - (-1)}{2} = \frac{z - 3}{1} \) или \( \frac{x+1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{1} \).

Параметрические уравнения:

\( x = -1 + t \) \( y = -1 + 2t \) \( z = 3 + t \), где \( t \in \mathbb{R} \).

e) Расстояние от вершины пирамиды F до основания ABCD:

Расстояние от точки \( F(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) вычисляется по формуле:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).

Уравнение плоскости ABCD: \( x + 2y + z - 1 = 0 \), значит \( A=1, B=2, C=1, D=-1 \).

Координаты точки F: \( x_0=-1, y_0=-1, z_0=3 \).

\( d = \frac{|1(-1) + 2(-1) + 1(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-1 - 2 + 3 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \).

f) Проекцию вершины F на плоскость основания ABCD:

Проекция вершины F на плоскость ABCD — это точка пересечения высоты, опущенной из F, с плоскостью ABCD. Обозначим эту точку как \( F' \).

Уравнение высоты: \( x = -1 + t \) \( y = -1 + 2t \) \( z = 3 + t \).

Подставим координаты точки на прямой в уравнение плоскости \( x + 2y + z - 1 = 0 \):

\( (-1 + t) + 2(-1 + 2t) + (3 + t) - 1 = 0 \)

\( -1 + t - 2 + 4t + 3 + t - 1 = 0 \)

\( 6t - 1 = 0 \)

\( t = \frac{1}{6} \).

Теперь подставим значение \( t \) в параметрические уравнения высоты:

\( x_{F'} = -1 + \frac{1}{6} = -\frac{5}{6} \)

\( y_{F'} = -1 + 2\left(\frac{1}{6}\right) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \)

\( z_{F'} = 3 + \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \).

Проекция вершины F на плоскость ABCD: \( F'\left(-\frac{5}{6}; -\frac{2}{3}; \frac{19}{6}\right) \).

g) В плоскости Oxy построить треугольник АВС. Составить уравнение стороны АВ и указать угловой коэффициент этой прямой.

Координаты вершин в плоскости Oxy (первые две координаты): \( A(-1; 0) \), \( B(0; 1) \).

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) в плоскости Oxy:

\( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

Подставляем координаты точек A(-1;0) и B(0;1):

\( \frac{x - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{y - 0}{1 - 0} \)

\( \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} \)

\( x + 1 = y \).

Уравнение прямой AB: \( y = x + 1 \).

Угловой коэффициент прямой \( y = kx + b \) — это \( k \).

В уравнении \( y = x + 1 \) коэффициент при \( x \) равен 1.

Угловой коэффициент прямой AB: \( k = 1 \).

Построение треугольника ABC в плоскости Oxy:

Вершины: \( A(-1; 0) \), \( B(0; 1) \), \( C(3; 0) \).

Ответ:

а) Канонические: \( \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-3} \). Параметрические: \( x = -1 + t, y = t, z = 2 - 3t \).

b) Уравнение грани ABCD: \( x + 2y + z - 1 = 0 \).

c) Угол между ребром AF и гранью ABCD: \( \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \).

d) Уравнение высоты из F: \( \frac{x+1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{1} \).

e) Расстояние от F до ABCD: \( \frac{\sqrt{6}}{6} \).

f) Проекция F на ABCD: \( F'\left(-\frac{5}{6}; -\frac{2}{3}; \frac{19}{6}\right) \).

g) Уравнение стороны AB: \( y = x + 1 \). Угловой коэффициент: \( 1 \).