Точка Р — середина стороны АВ треугольника АВС, РМ || АС. Докажите, что отрезок РМ — средняя линия треугольника АВС. Доказательство.

Решение:

• Предположим противное: Пусть отрезок РМ не является средней линией треугольника АВС.
• По условию: Точка Р — середина стороны АВ.
• Если М не середина ВС: Тогда отрезок РМ не соединяет середины сторон АВ и ВС.
• Теорема о средней линии: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
• Следствие из теоремы: Через середину одной стороны треугольника, параллельно другой стороне, можно провести только одну прямую, которая пересечет третью сторону в её середине.
• Применение следствия: Поскольку РМ || АС и точка Р — середина АВ, то точка М ОБЯЗАНА быть серединой стороны ВС.
• Противоречие: Наше первоначальное предположение (что М не середина ВС) приводит к противоречию с этим следствием.
• Вывод: Следовательно, исходное предположение неверно. Точка М является серединой стороны ВС.
• Заключение: Отрезок РМ соединяет середины сторон АВ и ВС, значит, РМ является средней линией треугольника АВС.

Что и требовалось доказать.