Точка пересечения высот DK и FH треугольника DEF является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник DEF равносторонний.

Решение:

• В треугольнике $${\displaystyle DEF}$$ $${\displaystyle DK}$$ и $${\displaystyle FH}$$ — высоты.
• $${\displaystyle O}$$ — точка их пересечения. Из условия следует, что $${\displaystyle O}$$ — центр вписанной окружности.
• Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
• Следовательно, $${\displaystyle DO}$$ — биссектриса $${\displaystyle \angle FDE}$$, а $${\displaystyle FO}$$ — биссектриса $${\displaystyle \angle EFD}$$.
• В $${\displaystyle \triangle DEF}$$ $${\displaystyle DK \perp EF}$$ и $${\displaystyle FH \perp DE}$$.
• В $${\displaystyle \triangle OFE}$$ $${\displaystyle \angle OFE = 90^{\circ} - \angle FOE}$$.
• В $${\displaystyle \triangle DKE}$$ $${\displaystyle \angle FDE = 90^{\circ} - \angle DOE}$$.
• Так как $${\displaystyle \angle FOE = \angle DOE}$$ (вертикальные углы), то $${\displaystyle \angle OFE = \angle FDE}$$.
• $${\displaystyle DO}$$ — биссектриса $${\displaystyle \angle FDE}$$, значит $${\displaystyle \angle FDO = \angle EDO}$$.
• $${\displaystyle FO}$$ — биссектриса $${\displaystyle \angle EFD}$$, значит $${\displaystyle \angle EFO = \angle DFO}$$.
• В $${\displaystyle \triangle DOF}$$ $${\displaystyle \angle DOF = 180^{\circ} - (\angle FDO + \angle EFO)}$$.
• $${\displaystyle \angle FDE = 2 \angle EDO}$$ и $${\displaystyle \angle EFD = 2 \angle EFO}$$.
• Из $${\displaystyle \angle OFE = \angle FDE}$$ следует, что $${\displaystyle \angle EFO = \angle FDE}$$.
• Значит, $${\displaystyle 2 \angle EFO = \angle FDE}$$.
• Так как $${\displaystyle DO}$$ — биссектриса $${\displaystyle \angle FDE}$$, то $${\displaystyle \angle EDO = \angle FDO}$$.
• Если $${\displaystyle \angle OFE = \angle FDE}$$, то $${\displaystyle \triangle DEF}$$ равнобедренный с основанием $${\displaystyle DF}$$.
• $${\displaystyle \angle DEF = \angle DFE}$$.
• Если $${\displaystyle O}$$ — центр вписанной окружности, то $${\displaystyle DO}$$ и $${\displaystyle FO}$$ — биссектрисы.
• $${\displaystyle \angle FDE = 2 \angle EDO}$$ и $${\displaystyle \angle EFD = 2 \angle EFO}$$.
• Из $${\displaystyle \angle OFE = \angle FDE}$$ следует, что $${\displaystyle \angle EFO = \angle FDE}$$.
• Так как $${\displaystyle \angle OFE = 90^{\circ} - \angle FOE}$$, то $${\displaystyle \angle FDE = 90^{\circ} - \angle FOE}$$.
• $${\displaystyle \angle EFD = 90^{\circ} - \angle EOF}$$.
• $${\displaystyle \angle FDE = \angle EFD}$$.
• Если $${\displaystyle \angle FDE = \angle EFD}$$, то $${\displaystyle \triangle DEF}$$ равнобедренный с основанием $${\displaystyle DE}$$.
• $${\displaystyle DF = EF}$$.
• По аналогии, если $${\displaystyle DK}$$ — высота и биссектриса, то $${\displaystyle \triangle DEF}$$ равнобедренный с основанием $${\displaystyle EF}$$.
• $${\displaystyle DE = DF}$$.
• Следовательно, $${\displaystyle DE = EF = DF}$$, и $${\displaystyle \triangle DEF}$$ — равносторонний.

Доказано.