49. Точка O - центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR - ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

Поскольку OPQR - ромб, то все его стороны равны, а значит OP = PQ = QR = RO. Так как OP и OR - радиусы окружности, треугольник OPR равнобедренный. В ромбе противоположные углы равны, следовательно, \(\angle POR = \angle PQR\). Также, поскольку OP = PQ, треугольник OPQ равнобедренный, и \(\angle POQ = \angle PQO\). Аналогично, так как QR=RO, треугольник QRO равнобедренный, и \(\angle RQO = \angle ROQ\). Так как OPQR - ромб, OP || QR и PQ || OR. Рассмотрим четырехугольник OPQR. Сумма углов четырехугольника равна 360°. \(\angle OPQ + \angle PQR + \angle QRO + \angle ROP = 360^\circ\) Заметим, что \(\angle PQR = \angle POR\). Пусть \(\angle ORQ = x\). Тогда \(\angle RQO = x\) и \(\angle QRO = 2x\). Поскольку \(\angle PQR = \angle PQO + \angle RQO\), то \(\angle PQR = \angle POQ + x\). Известно, что \(\angle POR = \angle PQR\). Так как \(\angle POR\) центральный угол, опирающийся на дугу PR, и \(\angle PQR\) вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, то \(\angle POR = 2 \cdot \angle ORQ = 2x\). Поскольку сумма углов треугольника ORQ равна 180°, и OR=OQ, то \(\angle ORQ = \angle OQR\). Так как OPQR ромб, то \(\angle OPQ = \angle ORQ\). Пусть \(\angle ORQ = x\), тогда \(\angle ROQ = 180 - 2x\) Угол \(\angle POR = 30^\circ\), тогда \(\angle ORQ = 30^\circ\). Тогда угол ORQ = 30 градусов. Ответ: 30