16. Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ABC=103° и ∠OAB = 24°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах. Ответ:

1) ∠AOB = 2∠ABC = 2 × 103° = 206° (как центральный угол, опирающийся на дугу AC).

2) ∠OBA = ∠OAB = 24° (треугольник AOB равнобедренный, OA = OB как радиусы).

3) ∠BOC = 360° - ∠AOB - ∠AOC. ∠AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 103° = 206°.

4) ∠AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 103° = 206°.

5) Рассмотрим четырёхугольник ABCO. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

6) ∠BAC = 1/2 ∠BOC (вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу).

7) Рассмотрим треугольник ABC. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

8) ∠BAC = 1/2 ∠BOC.

9) ∠BOA = 2 * ∠BCA. ∠BOA = 2 * 103 = 206°.

10) ∠OAB = ∠OBA = 24° (как углы при основании равнобедренного треугольника OAB).

11) ∠OBC = ∠ABC - ∠OBA = 103° - 24° = 79°.

12) ∠OСB = x; ∠OBA = ∠OAB = 24°.

13) ∠BOC = 180 - 2x, ∠OBC = ∠OCB = x, ∠BCO = x.

14) ∠AOB = 2 * ∠ACB, ∠BOC = 2 * ∠BAC, ∠AOC = 2 * ∠ABC.

15) ∠ACB = 1/2 ∠AOB, ∠BAC = 1/2 ∠BOC, ∠ABC = 1/2 ∠AOC.

16) ∠AOB + ∠AOC + ∠BOC = 360°.

17) ∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 103° = 206°.

18) ∠OBC = ∠ABC - ∠OBA = 103° - 24° = 79°.

19) ∠OBC = ∠ABC - ∠ABO = 103 - 24 = 79°.

20) OC = OB (радиусы).

21) ∠OCB = ∠OBC = x.

22) ∠COB = 180 - 2x.

23) ∠BCO = ∠OCA.

24) ∠OCA = 180 - 103 - 24 = 53°.

25) ∠BOC = 180 - 2 * x; ∠BOC = 2 * ∠BAC; ∠BAC = 180 - 103 - 24 = 53; ∠BOC = 2 * 53 = 106; 180 - 2 * x = 106; 2x = 74; x = 37.

Ответ: 79