Точка М – середина ребра СС' куба ABCDA'B'C'D'. На его ребре АВ отмечена точка К так, что МК = А’К. Найдите отношение ВК : АК.

Решение:

Обозначим длину ребра куба за \( a \).

Точка \( M \) — середина ребра \( CC' \), значит \( CM = MC' = \frac{a}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CC'A' \). \( CC' = a \), \( C'A' = a \).

Точка \( K \) лежит на ребре \( AB \). В кубе \( AB = A'B' = a \).

Рассмотрим треугольник \( MCK \). Нам нужно найти \( BK : AK \).

Для начала определим положение точки \( K \) на ребре \( AB \).

Пусть \( AK = x \). Тогда \( BK = AB - AK = a - x \).

Рассмотрим координаты точек. Пусть \( C = (0, 0, 0) \), \( C' = (0, 0, a) \), \( B = (a, 0, 0) \), \( A = (a, a, 0) \). Тогда \( A' = (a, a, a) \).

Точка \( M \) — середина \( CC' \), значит \( M = (0, 0, \frac{a}{2}) \).

Точка \( K \) лежит на \( AB \). Координаты \( K = (a, y, 0) \) для некоторого \( y \) между \( 0 \) и \( a \) (или \( x \) как в условии). Пусть \( K = (a, x, 0) \) где \( x \) — расстояние от \( B \) до \( K \). Тогда \( BK = x \) и \( AK = a-x \).

Однако, в условии указано, что \( AK \) — это расстояние. Из условия \( A=(a, a, 0) \) и \( B=(a, 0, 0) \), ребро \( AB \) идет вдоль оси Y. Обозначим \( K \) как \( (a, x_K, 0) \). Если \( A=(a, a, 0) \) и \( B=(a, 0, 0) \), то \( AB \) длина \( a \). Если \( AK = x \), то \( K = (a, a-x, 0) \).

Давайте переопределим координаты для удобства. Пусть \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (a, 0, 0) \), \( C = (a, a, 0) \), \( D = (0, a, 0) \), \( A' = (0, 0, a) \), \( B' = (a, 0, a) \), \( C' = (a, a, a) \), \( D' = (0, a, a) \).

Точка \( M \) — середина \( CC' \). \( C = (a, a, 0) \), \( C' = (a, a, a) \). Значит \( M = (a, a, \frac{a}{2}) \).

Точка \( K \) на ребре \( AB \). \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (a, 0, 0) \). Пусть \( AK = x \). Тогда \( BK = a-x \). Координаты \( K = (x, 0, 0) \).

Найдём длину \( MK \). \( M = (a, a, \frac{a}{2}) \), \( K = (x, 0, 0) \).

\[ MK^2 = (a-x)^2 + (a-0)^2 + (\frac{a}{2}-0)^2 \]

\[ MK^2 = (a-x)^2 + a^2 + \frac{a^2}{4} \]

Найдём длину \( A'K \). \( A' = (0, 0, a) \), \( K = (x, 0, 0) \).

\[ A'K^2 = (x-0)^2 + (0-0)^2 + (0-a)^2 \]

\[ A'K^2 = x^2 + a^2 \]

Из условия \( MK = A'K \), следовательно \( MK^2 = A'K^2 \).

\[ (a-x)^2 + a^2 + \frac{a^2}{4} = x^2 + a^2 \]

\[ a^2 - 2ax + x^2 + a^2 + \frac{a^2}{4} = x^2 + a^2 \]

Сократим \( x^2 \) и \( a^2 \) с обеих сторон:

\[ a^2 - 2ax + \frac{a^2}{4} = 0 \]

\[ \frac{5a^2}{4} = 2ax \]

Разделим на \( a \) (так как \( a \neq 0 \)):

\[ \frac{5a}{4} = 2x \]

\[ x = \frac{5a}{8} \]

Мы приняли \( AK = x \). Значит \( AK = \frac{5a}{8} \).

Нам нужно найти отношение \( BK : AK \).

\( BK = a - AK = a - \frac{5a}{8} = \frac{8a - 5a}{8} = \frac{3a}{8} \).

Отношение \( BK : AK = \frac{3a}{8} : \frac{5a}{8} = \frac{3}{5} \).

\( \frac{3}{5} = 0.6 \).

Ответ: 0,6