Точка М равноудалена от сторон прямоугольного треугольника АВС на 5 см. Катеты этого треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах и свойствами прямоугольного треугольника.

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника ABC:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   где a и b - катеты треугольника.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2$$

2. Найдем гипотенузу треугольника ABC по теореме Пифагора:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

3. Найдем полупериметр треугольника ABC:

   $$p = \frac{a + b + c}{2}$$ $$p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$$

4. Найдем радиус вписанной окружности (r) в прямоугольный треугольник, используя формулу:

   $$r = \frac{S}{p}$$ $$r = \frac{54}{18} = 3 \text{ см}$$

5. Так как точка M равноудалена от сторон треугольника, основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость треугольника, является центром вписанной окружности.

6. Пусть h - расстояние от точки M до плоскости треугольника. Тогда, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного расстоянием h, радиусом r и расстоянием от точки M до стороны треугольника (5 см), получим:

   $$h = \sqrt{5^2 - r^2}$$ $$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$

Ответ: 4