Точка касания вписанной окружности делит сторону равностороннего треугольника на два отрезка, один из которых на 35 см меньше периметра треугольника. Найдите сторону треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике точка касания вписанной окружности делит каждую сторону пополам. Пусть сторона треугольника равна \( a \). Тогда каждый из отрезков равен \( \frac{a}{2} \).

Периметр треугольника равен \( P = 3a \).

По условию задачи, один из отрезков на 35 см меньше периметра. Это значит:

\( \frac{a}{2} = P - 35 \)

Подставим \( P = 3a \) в уравнение:

\( \frac{a}{2} = 3a - 35 \)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( a = 2(3a - 35) \)

\( a = 6a - 70 \)

Перенесем \( a \) в правую часть, а 70 — в левую:

\( 70 = 6a - a \)

\( 70 = 5a \)

Теперь найдем \( a \), разделив 70 на 5:

\( a = \frac{70}{5} \)

\( a = 14 \)

Итак, сторона треугольника равна 14 см.

Ответ: 14 см.