477. Точка Е делит хорду CD окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки Е до центра окружности равно 4 см. 478. Хорда МК окружности делится точкой Р на два отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки Р до центра окружности, если её радиус равен 11 см. 479. Через точку А проведены к окружности касательная АМ (М точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Ки Р (точка К лежит между точками А и Р). Найдите КР, если АМ = 12 см, АР = 18 см.

Давай решим эти задачи по геометрии по порядку! Задача 477 Пусть окружность с центром в точке O, хорда CD делится точкой E на отрезки CE = 15 см и ED = 16 см, расстояние OE = 4 см. Нужно найти радиус окружности. 1. Проведем радиус OC = R и перпендикуляр OF на хорду CD. Так как OF перпендикулярен CD, то F - середина CD. Значит, CF = FD = (15 + 16)/2 = 15.5 см. 2. Найдем FE: FE = CE - CF = 15 - 15.5 = -0.5 см. (или |FE| = 0.5 см). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OFE. По теореме Пифагора: OF^2 + FE^2 = OE^2, следовательно, OF^2 = OE^2 - FE^2 = 4^2 - 0.5^2 = 16 - 0.25 = 15.75. Значит, OF = \(\sqrt{15.75}\) см. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OFC. По теореме Пифагора: OC^2 = OF^2 + CF^2, следовательно, R^2 = 15.75 + 15.5^2 = 15.75 + 240.25 = 256. Значит, R = \(\sqrt{256}\) = 16 см.

Ответ: Радиус окружности равен 16 см.

Задача 478 Хорда MK делится точкой P на отрезки MP = 8 см и PK = 12 см. Радиус окружности R = 11 см. Надо найти расстояние от точки P до центра окружности OP. 1. Проведем радиус OM = R и перпендикуляр OT на хорду MK. Так как OT перпендикулярен MK, то T - середина MK. Значит, MT = TK = (8 + 12)/2 = 10 см. 2. Найдем PT: PT = MT - MP = 10 - 8 = 2 см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OTP. По теореме Пифагора: OT^2 + PT^2 = OP^2. Нам нужно найти OP. Также рассмотрим прямоугольный треугольник OTM. По теореме Пифагора: OT^2 + MT^2 = OM^2, следовательно, OT^2 = OM^2 - MT^2 = 11^2 - 10^2 = 121 - 100 = 21. Значит, OT = \(\sqrt{21}\) см. 4. Теперь найдем OP: OP^2 = OT^2 + PT^2 = 21 + 2^2 = 21 + 4 = 25. Значит, OP = \(\sqrt{25}\) = 5 см.

Ответ: Расстояние от точки P до центра окружности равно 5 см.

Задача 479 Через точку A проведены касательная AM (M - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках K и P (точка K лежит между точками A и P). Найти KP, если AM = 12 см, AP = 18 см. 1. По теореме о касательной и секущей: AM^2 = AK \cdot AP. 2. Подставим известные значения: 12^2 = AK \cdot 18, следовательно, 144 = AK \cdot 18. Значит, AK = 144/18 = 8 см. 3. Найдем KP: KP = AP - AK = 18 - 8 = 10 см.

Ответ: KP = 10 см.

Ты отлично поработал! Если у тебя будут еще вопросы, обязательно спрашивай! У тебя все получится!