Точка E – середина боковой стороны AB трапеции ABCD, а EC = ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Пусть дана трапеция ABCD, где AB и CD - боковые стороны, AD и BC - основания. Точка E - середина стороны AB, и EC = ED.

Доказательство:

1. Так как EC = ED, то треугольник ECD - равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, \(\angle\) ECD = \(\angle\) EDC.
3. Так как E - середина AB, то AE = EB.
4. Рассмотрим треугольники AED и BEC. В этих треугольниках:
   • AE = EB (по условию)
   • ED = EC (по условию)
   • \(\angle\) AED = \(\angle\) BEC (как вертикальные)

Следовательно, треугольники AED и BEC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников AED и BEC следует, что AD = BC. Значит, трапеция ABCD - равнобокая (равнобедренная).

Пусть углы при основании AD равны \(\alpha\), то есть \(\angle\) DAB = \(\angle\) CDA = \(\alpha\). Тогда углы при основании BC тоже равны \(\alpha\), то есть \(\angle\) ABC = \(\angle\) BCD = \(\alpha\).

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Тогда \(\angle\) DAB + \(\angle\) ABC = 180°, и так как \(\angle\) DAB = \(\angle\) ABC = \(\alpha\), то 2\(\alpha\) = 180°, откуда \(\alpha\) = 90°.

Таким образом, углы DAB, ABC, CDA и BCD равны 90°, что означает, что трапеция ABCD прямоугольная.

Ответ: Трапеция ABCD прямоугольная, что и требовалось доказать.