Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t³ + 1/2t² - 4t (м). Тогда скорость точки выражается формулой...

Решение:

Скорость точки \( v(t) \) является первой производной от закона движения \( S(t) \) по времени \( t \).

Дано: \( S(t) = t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 4t \).

Найдем производную \( S'(t) \):

\( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 4t) \)

Используем правила дифференцирования:

• Производная от \( t^n \) есть \( nt^{n-1} \).
• Производная от константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции.
• Производная от суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.

Применяем правила:

\( \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^{3-1} = 3t^2 \)

\( \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}t^2) = \frac{1}{2} \cdot 2t^{2-1} = t \)

\( \frac{d}{dt}(-4t) = -4 · 1t^{1-1} = -4 \)

Складываем полученные производные:

\( v(t) = 3t^2 + t - 4 \)

Среди предложенных вариантов ответа ищем формулу \( v(t) = 3t^2 + t - 4 \).

Ответ: v(t) = 3t² + t - 4.