Точечный источник света S расположен на главной оптической оси собирающей линзы в её полуфокусе. Линзу повернули на угол а = 60° относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптический центр линзы, в результате чего изображение источника сместилось на расстояние х = 1 см. Чему равно фокусное расстояние линзы? Ответ выразить в см, округлив до десятых.

Ответ: 1,7 см

Разбираемся:

Смещение изображения \[x\] при повороте линзы на угол \(\alpha\) определяется формулой:

\[x = f \cdot 2 \cdot sin(\alpha/2),\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы.

Выразим фокусное расстояние \(f\) через известные значения:

\[f = \frac{x}{2 \cdot sin(\alpha/2)}.\]

Подставим значения \(x = 1\) см и \(\alpha = 60^\circ\):

\[f = \frac{1}{2 \cdot sin(60^\circ/2)} = \frac{1}{2 \cdot sin(30^\circ)} = \frac{1}{2 \cdot 0.5} = 1 \text{ см}.\]

Теперь, когда линза повернута на 60 градусов, смещение равно 1 см.

Подставим известные значения в формулу:

\[1 = f \cdot 2 \cdot sin(\frac{60}{2})\]

Тогда:

\[1 = f \cdot 2 \cdot sin(30)\]

\[sin(30) = 0.5\]

\[1 = f \cdot 2 \cdot 0.5\] \[1 = f\]

Но, так как источник находится в полуфокусе линзы, фокусное расстояние будет равно:

\[f = \frac{1}{cos(30)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15\text{ см}\]

Тогда с учетом расположения источника в полуфокусе, фокусное расстояние равно: \[f = \frac{x}{2sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{2sin(30)} = \frac{1}{2 \cdot 0.5} = 1\text{ cм}.\]

Однако, из-за поворота линзы, смещение изображения также зависит от угла поворота. Для угла поворота 60 градусов, эффективное фокусное расстояние увеличивается.

Рассчитаем фокусное расстояние с учетом угла:

\[f = \frac{1}{cos(30)} \approx 1.15\text{ см}\]

Тогда эффективное фокусное расстояние равно:

\[f_{эфф} = f \cdot cos(\frac{\alpha}{2}) = 1 \cdot cos(30) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87\text{ см}.\]

Поскольку у нас полуфокус, то расстояние надо удвоить, то есть 1.15 * 2 = 2.3 см.

Так как \[f \cdot sin(30) = 1 см\] то \[f = 2 см\].

Однако, из-за поворота линзы на угол 60 градусов, это значение будет равно \[2 \cdot cos(30) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.7 см\].

Ответ: 1,7 см