18. Тип 17 № 2058 Ваня и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Ваня думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Ваня делает так: $$\frac{4}{6} = \frac{4-2}{6-3} = \frac{2}{3}$$. Аня считает, что нужно от числителя отнять 1, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: $$\frac{2}{4} = \frac{2-1}{4-2} = \frac{1}{2}$$. Ваня и Аня (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь $$\frac{2019}{2018}$$ по своим правилам и получили дробь с числителем 1992. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть Ваня сделал $$v$$ операций, а Аня - $$a$$ операций. Тогда $$v + a = 20$$. После каждой операции Вани числитель уменьшается на 2, а знаменатель - на 3. После каждой операции Ани числитель уменьшается на 1, а знаменатель - на 2. Пусть числитель стал равен 1992. Тогда можно записать уравнение: $$2019 - 2v - a = 1992$$ $$2v + a = 2019 - 1992$$ $$2v + a = 27$$ Так как $$v + a = 20$$, то $$a = 20 - v$$. Подставим это в первое уравнение: $$2v + (20 - v) = 27$$ $$v + 20 = 27$$ $$v = 7$$ Значит, Ваня выполнил 7 операций, а Аня - 20 - 7 = 13 операций. Теперь найдем знаменатель. Исходный знаменатель был 2018. После 7 операций Вани он уменьшится на $$7 \cdot 3 = 21$$, а после 13 операций Ани он уменьшится на $$13 \cdot 2 = 26$$. Тогда новый знаменатель будет $$2018 - 21 - 26 = 2018 - 47 = 1971$$. Ответ: **1971**