18. Тип 18 № 4013 В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 20.

Дано: $$\triangle ABC$$, $$AB = BC$$, $$\angle ACB = 75^\circ$$, $$X \in BC$$, $$Y \in BC$$, $$B-X-Y$$, $$AX = BX$$, $$\angle BAX = \angle YAX$$, $$AX = 20$$. Найти: $$AY$$. Решение: 1. Так как $$AB = BC$$, то $$\triangle ABC$$ равнобедренный. Следовательно, $$\angle BAC = \angle ACB = 75^\circ$$. 2. $$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ$$. 3. $$\triangle ABX$$: $$AX = BX$$, следовательно, $$\triangle ABX$$ равнобедренный и $$\angle BAX = \angle ABX = 30^\circ$$. 4. $$\angle AXB = 180^\circ - \angle BAX - \angle ABX = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$. 5. $$\angle YAX = \angle BAX = 30^\circ$$. 6. $$\angle BAY = \angle BAX + \angle YAX = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$$. 7. Рассмотрим $$\triangle ABX$$ по теореме синусов: $$\frac{AX}{\sin(\angle ABX)} = \frac{AB}{\sin(\angle AXB)}$$ $$\frac{20}{\sin(30^\circ)} = \frac{AB}{\sin(120^\circ)}$$ $$\frac{20}{0.5} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$40 = \frac{2AB}{\sqrt{3}}$$ $$AB = 20\sqrt{3}$$ 8. Рассмотрим $$\triangle ABY$$ по теореме синусов: $$\frac{AY}{\sin(\angle ABY)} = \frac{AB}{\sin(\angle AYB)}$$ $$\angle ABY = \angle ABC = 30^\circ$$ $$\angle AYB = 180^\circ - \angle YAB - \angle ABY = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$$. $$\frac{AY}{\sin(30^\circ)} = \frac{20\sqrt{3}}{\sin(90^\circ)}$$ $$\frac{AY}{0.5} = \frac{20\sqrt{3}}{1}$$ $$AY = 10\sqrt{3}$$ Ответ: $$10\sqrt{3}$$