9. Тип 9 № 7324 В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Разбираемся:

1. Обозначим стороны и углы:

   Пусть сторона AB = a, тогда AC = 2a. ∠ACD = 169°. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

2. Найдем углы параллелограмма:

   ∠ADC = 180° - ∠ACD = 180° - 169° = 11°. Следовательно, ∠ABC = 11° (противоположные углы параллелограмма равны). ∠BAD = ∠BCD = 180° - 11° = 169°.

3. Рассмотрим треугольник ABC:

   В треугольнике ABC, AB = a, AC = 2a, ∠ABC = 11°. По теореме синусов: \(\frac{AB}{sin∠ACB} = \frac{AC}{sin∠ABC}\). Отсюда, \(\frac{a}{sin∠ACB} = \frac{2a}{sin11°}\), \(sin∠ACB = \frac{sin11°}{2} ≈ \frac{0.1908}{2} ≈ 0.0954\). Тогда, ∠ACB ≈ arcsin(0.0954) ≈ 5.47°.

4. Найдем угол CAB:

   ∠CAB = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 11° - 5.47° = 163.53°.

5. Найдем угол между диагоналями:

   ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA. ∠OAB = \(\frac{∠BAD}{2}\) = \(\frac{169°}{2}\) = 84.5°. ∠OBA = \(\frac{∠ABC}{2}\) = \(\frac{11°}{2}\) = 5.5°. ∠AOB = 180° - 84.5° - 5.5° = 90°.

6. Меньший угол между диагоналями:

   Меньший угол между диагоналями равен 180° - 90° = 90°.

Ответ: 90

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно определил(а) углы и применил(а) теорему синусов.

Доп. профит: Редфлаг: Всегда проверяй, что полученный угол соответствует условию задачи (меньший угол).