4. Тип 18 № 5873 В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 7. Запишите решение и ответ.

Решение: 1. В параллелограмме $$ABCD$$ биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$M$$. Обозначим угол $$BAM$$ как $$\alpha$$. Тогда угол $$MAD$$ также равен $$\alpha$$, и угол $$A$$ равен $$2\alpha$$. По условию, угол $$A$$ равен $$60^\circ$$, следовательно, $$2\alpha = 60^\circ$$, и $$\alpha = 30^\circ$$. 2. Так как $$AM$$ и $$DM$$ перпендикулярны, то угол $$AMD$$ равен $$90^\circ$$. Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, поэтому угол $$MDA$$ равен $$180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. 3. Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. Угол $$BAM$$ равен $$30^\circ$$. Угол $$B$$ равен $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $$180^\circ$$). Следовательно, угол $$BMA$$ равен $$180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$$. Таким образом, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, и $$AB = BM = 7$$. 4. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$BC = AD$$. Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Угол $$MAD$$ равен $$30^\circ$$, а угол $$MDA$$ равен $$60^\circ$$. Значит, угол $$DMA = 90^\circ$$. Тогда $$\angle CDM = \angle ADC - \angle ADM$$. Т.к. $$\angle ADC = 120^\circ$$, a $$\angle ADM = 60^\circ$$, то $$\angle CDM = 60^\circ$$. 5. Рассмотрим треугольник $$CMD$$. $$\angle DMC = 180^\circ - 90^\circ - \angle CDM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Следовательно, треугольник $$CMD$$ - равнобедренный, $$MC = CD$$. Tак как $$AB = CD$$ (по свойству параллелограмма), то $$MC = AB = 7$$. 6. $$BC = BM + MC = 7 + 7 = 14$$. Значит, $$AD = BC = 14$$. 7. Периметр параллелограмма равен $$2(AB + BC) = 2(7 + 14) = 2(21) = 42$$. Ответ: 42