11. Тип 10 № 1850 В группе учится 25 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по экономике и 15 сдали зачёт о английскому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 3) Меньше 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 15 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Решение: 1. Всего студентов в группе: 25. 2. Сдали зачет по экономике: 15 человек. 3. Сдали зачет по английскому языку: 15 человек. Пусть ( x ) - количество студентов, сдавших оба зачета (и по экономике, и по английскому языку). Тогда количество студентов, сдавших только экономику, равно ( 15 - x ), а количество студентов, сдавших только английский, равно ( 15 - x ). Общее количество студентов, сдавших хотя бы один зачет, можно выразить как: $$(15 - x) + (15 - x) + x = 30 - x$$ Так как всего в группе 25 студентов, то количество студентов, не сдавших ни одного зачета, равно: $$25 - (30 - x) = x - 5$$ Теперь проверим каждое утверждение: 1) В этой группе найдется 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачетов. Из нашего уравнения выше, количество студентов, не сдавших ни одного зачета, равно ( x - 5 ). Чтобы это было равно 11, должно выполняться: $$x - 5 = 11$$ $$x = 16$$ Так как максимум 15 человек могли сдать оба зачета (т.к. по каждому предмету сдали 15), то ( x ) может быть максимум 15. Значит, это утверждение не обязательно верно. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачеты и по экономике, и по английскому языку. Минимальное количество студентов, сдавших оба зачета, может быть найдено, если предположить, что общее количество сдавших хотя бы один зачет максимально. Это произойдет, когда ( x ) минимально. Общее количество сдавших хотя бы один зачет ( 30-x ). Так как общее количество студентов 25, то хотя бы 5 студентов сдали оба предмета. Чтобы это доказать, предположим, что 15 человек сдали экономику, и 15 сдали английский. В сумме это 30 человек. Значит минимум 5 человек сдали оба предмета, чтобы уложиться в общее количество студентов 25. 3) Меньше 16 студентов из этой группы сдали зачеты и по экономике, и по английскому языку. Мы знаем, что сдали экономику 15 человек, и английский 15 человек. Максимальное количество студентов, сдавших оба предмета, - это минимум из этих двух чисел, то есть 15. Так как 15 < 16, это утверждение верно. 4) В этой группе найдется 15 студентов, которые не сдали зачет по английскому языку, но сдали зачет по экономике. Количество студентов, сдавших только экономику, равно ( 15 - x ). Чтобы это было 15, необходимо чтобы ( x = 0 ). То есть ни один студент не сдал оба зачета. Но как мы показали ранее, как минимум 5 студентов сдали оба предмета. Следовательно, это утверждение неверно. Таким образом, верные утверждения: 2 и 3. Ответ: 23