17. Тип 17 № 169851 Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $$a$$, а боковая сторона равна $$b$$. Тогда периметр треугольника равен: $$P=a+2b$$. По условию периметр равен 16, то есть $$a+2b=16$$, а боковая сторона равна 5, то есть $$b=5$$. Подставим значение $$b$$ в первое уравнение и выразим $$a$$:

$$a+2\cdot 5 = 16$$ $$a=16-10=6$$

Площадь равнобедренного треугольника равна:

$$S=\frac{1}{2}a\cdot h$$

где $$h$$ - высота, проведенная к основанию.

Высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и половиной основания. По теореме Пифагора:

$$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$ $$h^2 + (\frac{6}{2})^2 = 5^2$$ $$h^2 + 3^2 = 25$$ $$h^2 = 25-9=16$$ $$h=\sqrt{16}=4$$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

Ответ: 12