10. Тип 10 № 7449 Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $$a = 18$$ и $$b = 12$$. Боковая сторона $$c = 6$$, а косинус угла между этой стороной и основанием $$a$$ равен $$\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Сначала найдем синус угла $$\alpha$$, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$. $$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$ $$\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ (т.к. угол в трапеции острый, синус положительный). Теперь найдем высоту трапеции $$h$$, опущенную из вершины верхнего основания на нижнее. Эта высота равна $$h = c \sin(\alpha) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$$. Площадь трапеции $$S$$ можно найти по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30$$ Ответ: 30