17. Тип 17 № Найдите значение выражения √4√5+9-√5.

Упростим выражение: \(\sqrt{4\sqrt{5}+9} - \sqrt{5}\)

Предположим, что \(\sqrt{4\sqrt{5}+9} = a + b\sqrt{5}\)

Тогда \((a + b\sqrt{5})^2 = 4\sqrt{5}+9\)

\(a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2 = 4\sqrt{5}+9\)

Получаем систему уравнений: \(a^2 + 5b^2 = 9\) и \(2ab = 4\)

Из второго уравнения: \(ab = 2\), \(a = \frac{2}{b}\)

Подставляем в первое уравнение: \(\frac{4}{b^2} + 5b^2 = 9\)

\(5b^4 - 9b^2 + 4 = 0\)

Пусть \(t = b^2\), тогда \(5t^2 - 9t + 4 = 0\)

Решаем квадратное уравнение: \(D = 81 - 4\cdot5\cdot4 = 81 - 80 = 1\)

\(t_1 = \frac{9 + 1}{10} = 1\), \(t_2 = \frac{9 - 1}{10} = \frac{4}{5}\)

Если \(t = 1\), то \(b = 1\), \(a = 2\). Тогда \(\sqrt{4\sqrt{5}+9} = 2 + \sqrt{5}\)

И исходное выражение равно: \(2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\)

Ответ: 2