10. Тип 16 № 351311 На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=54 и BC = 36. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке A, проходящая через точку C, лежащую на отрезке AB. Из точки B проведена касательная к окружности, и пусть точка касания - T.

Нужно найти длину отрезка BT.

Из условия известно, что AC = 54 и BC = 36.

Так как AT - радиус окружности, то AT = AC = 54.

AT - радиус, проведенный в точку касания, поэтому AT перпендикулярно BT. Следовательно, треугольник ATB - прямоугольный, где угол ATB - прямой.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ATB:

$$ AB^2 = AT^2 + BT^2 $$

Отсюда выразим BT:

$$ BT^2 = AB^2 - AT^2 $$

Из условия задачи известно, что AC = 54 и BC = 36, значит AB = AC + BC = 54 + 36 = 90.

Подставим известные значения в формулу:

$$ BT^2 = 90^2 - 54^2 = 8100 - 2916 = 5184 $$

Извлечем квадратный корень:

$$ BT = \sqrt{5184} = 72 $$

Ответ: 72