Тип 16 № 353285 На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 72 и BC = 25. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке A и радиусом AC = 72. Пусть касательная, проведенная из точки B, касается окружности в точке D. Тогда AD - радиус, проведенный в точку касания, и AD перпендикулярен BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. В нем AB = AC + CB = 72 + 25 = 97, AD = AC = 72. По теореме Пифагора, \(BD^2 = AB^2 - AD^2\). \(BD^2 = 97^2 - 72^2 = (97 + 72)(97 - 72) = 169 cdot 25\) \(BD = \sqrt{169 \cdot 25} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{25} = 13 \cdot 5 = 65\) Ответ: 65