15. Тип 15 № 3935 Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость по течению равна x + 5 (км/ч), а против течения - x - 5 (км/ч).

Время, затраченное на путь по течению, равно \[\frac{32}{x+5}\] (часа), а на путь против течения - \[\frac{24}{x-5}\] (часа).

Общее время, затраченное на весь путь, равно 4 часа. Составим уравнение:

\[\frac{32}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 4\]

Решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на (x+5)(x-5), чтобы избавиться от дробей:

\[32(x-5) + 24(x+5) = 4(x^2 - 25)\] \[32x - 160 + 24x + 120 = 4x^2 - 100\] \[56x - 40 = 4x^2 - 100\]

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

\[4x^2 - 56x - 60 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 4:

\[x^2 - 14x - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = 15\] \[x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = -1\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то подходит только корень x = 15.