15. Тип 15 № 5433 Катер прошёл по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ км/ч - собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки равна $$(x + 5)$$ км/ч, а против течения - $$(x - 5)$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{72}{x + 5}$$ часов, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{54}{x - 5}$$ часов. Общее время в пути составляет 9 часов, поэтому составим уравнение: $$\frac{72}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 9$$ Умножим обе части уравнения на $$(x + 5)(x - 5)$$: $$72(x - 5) + 54(x + 5) = 9(x^2 - 25)$$ $$72x - 360 + 54x + 270 = 9x^2 - 225$$ $$126x - 90 = 9x^2 - 225$$ $$9x^2 - 126x - 135 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 9: $$x^2 - 14x - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Найдем дискриминант: $$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$ $$\sqrt{D} = 16$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 15$$ км/ч. **Ответ: 15 км/ч**