11. Тип 18 № 5670. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60° и МА = 1.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$A$$ и $$B$$ - точки касания, $$M$$ - точка, из которой проведены касательные. Тогда $$MA = MB = 1$$. Треугольники $$MAO$$ и $$MBO$$ равны (по двум катетам: $$MO$$ общая, $$OA = OB$$ - радиусы окружности) и прямоугольные (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания). Угол $$\angle AOB = 60^{\circ}$$. Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA = OB$$ (радиусы), то треугольник $$AOB$$ - равнобедренный с углом $$60^{\circ}$$ при вершине $$O$$. Следовательно, углы при основании $$A$$ и $$B$$ равны $$\frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$$, то есть треугольник $$AOB$$ - равносторонний. Значит, $$OA = OB = AB$$. В прямоугольном треугольнике $$MAO$$, $$MA = 1$$, $$OA$$ - радиус окружности. Рассмотрим $$\triangle MAO$$. Так как $$\angle AOB = 60^{\circ}$$, то $$\angle AOM = \frac{1}{2} \cdot (180^{\circ} - \angle AOB) = \frac{1}{2} \cdot (180^{\circ} - 60^{\circ}) = 60^{\circ}$$. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то $$OA$$ - радиус, $$MA$$ - касательная. $$\triangle AOM$$ – прямоугольный, $$MA = 1$$. $$\angle AOM = (180 - 90 - \frac{60}{2}) = 60/2 =30$$ $$OA = MA / tan(30) = 1 * sqrt(3)$$. Значит, AB = OA = sqrt(3). **Ответ: $$\sqrt{3}$$**