18. Тип 18 № 4013 i В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 20.

Ответ: AY = 20

• Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный.
• ∠ACB = 75°, следовательно, ∠BAC = ∠ABC = (180° - 75°) / 2 = 52.5°.
• ∠BAX = ∠YAX, обозначим этот угол как α.
• Треугольник ABX равнобедренный (AX = BX), следовательно, ∠BAX = ∠ABX = α.
• Из треугольника ABX: ∠BAX + ∠ABX + ∠AXB = 180°, то есть 2α + ∠AXB = 180°.
• ∠ABX = ∠ABC = 52.5°, следовательно, α = 52.5°.
• ∠BAX = ∠YAX = 52.5°.
• ∠BAY = ∠BAC - ∠YAC = 52.5° - α = 52.5° - 52.5° = 0°.
• Рассмотрим треугольники ABX и AXY:
• AX = BX (по условию).
• ∠BAX = ∠YAX (по условию).
• AY - общая сторона.

Из этих условий можно сделать вывод, что треугольники ABX и AXY равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AY = AX = 20.

Ответ: AY = 20