18 Тип 16 № 10903 i В треугольнике АВС на стороне АС отметили произвольную точку М. В треугольнике АВМ провели биссектрису МК. В треугольнике СВМ построили высоту МР. Угол КМР равен 90°, СМ = 12. Найдите ВМ.

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение и рассмотреть образовавшиеся треугольники.

1. Построим рисунок, соответствующий условию задачи.

2. Рассмотрим треугольник КМР. Так как угол КМР прямой, то углы МКР и МРК в сумме составляют 90°.

3. В треугольнике АВМ, МК - биссектриса угла АМВ. Обозначим угол АМК = углу КМВ = х. Тогда угол АМВ = 2х.

4. В треугольнике СВМ, МР - высота, следовательно, угол CMP = 90°.

5. Угол АМС - развернутый, значит, угол АМС = 180°.

6. Угол АМВ + угол ВМС = 180°, следовательно, угол ВМС = 180° - 2х.

7. В треугольнике СВМ, угол CMP = 90°, значит, угол MCP + угол СВМ = 90°.

8. Так как угол КМР = 90°, то угол КМВ + угол ВМР = 90°. Следовательно, х + угол ВМР = 90°, и угол ВМР = 90° - х.

9. В треугольнике ВМР, угол ВМР = 90° - х и угол МРВ = 90°, значит, угол МВР = х.

10. Рассмотрим треугольник СВМ. В нём угол ВМС = 180° - 2х, угол МСР = 90° - угол СВМ = 90° - х, и угол СВМ = х.

11. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол ВМС + угол МСР + угол СВМ = 180°. Подставим известные значения углов: (180° - 2х) + (90° - х) + х = 180°. Решив это уравнение, получим: 180° - 2х + 90° - х + х = 180°, 270° - 2х = 180°, 2х = 90°, х = 45°.

12. Следовательно, угол СВМ = 45°.

13. В треугольнике СВМ, угол CMP = 90° и угол СВМ = 45°, значит, треугольник СВМ - равнобедренный (так как углы при основании равны). Следовательно, CM = BM = 12.

Ответ: 12