18 Тип 16 № 11038 i В прямоугольном треугольнике АВС к ги- потенузе АС проведен серединный перпенди- куляр. Точка пересечения этого перпендику- ляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол тре- угольника в отношении 4 : 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Пусть к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр, который пересекает AC в точке D. Пусть этот перпендикуляр пересекает катет BC в точке E. Точка E соединена с концом другого катета A отрезком AE, который делит угол BAC в отношении 4:7. Пусть угол CAE = 4x, угол EAB = 7x. Тогда угол BAC = 4x + 7x = 11x.

Так как DE - серединный перпендикуляр к AC, то DA = DC, и треугольник ADE равнобедренный, следовательно, угол DAE = угол DEA. Угол DAE = 4x, значит угол DEA = 4x.

Угол EDC = 90 градусов. Угол DEC = 90 - 4x. Так как углы DEC и DEA смежные, то угол DEA + угол DEC = 180 градусов. Значит, 4x + угол DEC = 180 градусов.

Рассмотрим треугольник AEC. Угол ACE = 90 градусов, угол CAE = 4x, угол AEC = угол DEC = 90 - 4x.

В треугольнике ABC угол ACB = 90 градусов, угол BAC = 11x. Тогда угол ABC = 90 - 11x.

В треугольнике ABE сумма углов равна 180 градусов: угол EAB + угол ABE + угол BEA = 180.

Из условия задачи следует, что меньшая часть угла находится при катете, то есть угол CAE = 4x, угол EAB = 7x.

Так как DE — серединный перпендикуляр к гипотенузе AC, то AE = CE, следовательно, треугольник ACE равнобедренный и углы CAE и ACE равны. То есть, угол CAE = углу ACE = 4x.

Поскольку угол ACB прямой, то угол ACB = 90°. Тогда угол ACE = 90° - угол BCE.

По условию, угол CAE = 4x и угол EAB = 7x, следовательно, угол CAB = 11x.

В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°, то есть угол CAB + угол CBA = 90°.

Тогда 11x + угол CBA = 90°.

Треугольник ACE равнобедренный, AE = CE, значит угол CAE = углу ACE = 4x.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол ACB = 90°, угол CAB = 11x. Тогда угол CBA = 90 - 11x.

По условию, угол CAE = 4x. Следовательно, угол ACE = 4x. Тогда угол AEB = 180 - (7x + 90 - 11x) = 180 - 90 + 4x = 90 + 4x.

Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусам: угол A + угол B + угол C = 180.

11x + (90 - 11x) + 90 = 180.

Угол при катете равен углу BAC. Разделим угол BAC в отношении 4:7. Пусть меньшая часть при катете равна 4x, тогда большая часть равна 7x, а весь угол BAC = 4x + 7x = 11x.

Треугольник ABC прямоугольный, значит, угол A + угол B = 90.

Угол A = 11x, следовательно, угол B = 90 - 11x.

Рассмотрим треугольник ABC, угол C = 90, угол A = 11x, угол B = 90 - 11x.

Пусть угол при катете = α. Тогда α/(90-α) = 4/7

7α = 4(90-α)

7α = 360 - 4α

11α = 360

α = 360/11 = 32.73°

Меньший угол равен 4x, а больший угол равен 7x. Сумма углов 4x + 7x = 90.

11x = 90, значит x = 90/11.

Меньший угол равен 4x = 4 * 90/11 = 360/11 ≈ 32.72.

Больший угол равен 7x = 7 * 90/11 = 630/11 ≈ 57.27.

Так как 4x + 7x = 90, то 11x = 90.

Тогда меньшая часть равна 4/11 * 90 = 360/11 ≈ 32.73.

Большая часть равна 7/11 * 90 = 630/11 ≈ 57.27.

Искомый угол равен меньшей части, то есть 360/11.

360/11 = 32,7272...

Округлим до целых: 33.

Ответ: 33