Тип 20 № 338505 i Решите неравенство \frac{-14}{x²+2x-15} ≤0.

Ответ: (-∞; -5) ∪ (3; +∞)

Решение:

1. Упростим неравенство, умножив обе части на -1 (при этом знак неравенства меняется): \[\frac{14}{x^2 + 2x - 15} \ge 0\]
2. Находим нули знаменателя: \[x^2 + 2x - 15 = 0\] Дискриминант: D = 2^2 - 4*1*(-15) = 4 + 60 = 64 Корни: x_1 = (-2 + \sqrt{64}) / 2 = (-2 + 8) / 2 = 3, x_2 = (-2 - \sqrt{64}) / 2 = (-2 - 8) / 2 = -5
3. Определяем интервалы и знаки на каждом интервале:
   • x < -5: (например, x = -6), (-6)^2 + 2*(-6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0, значит, \frac{14}{x^2 + 2x - 15} > 0
   • -5 < x < 3: (например, x = 0), 0^2 + 2*0 - 15 = -15 < 0, значит, \frac{14}{x^2 + 2x - 15} < 0
   • x > 3: (например, x = 4), 4^2 + 2*4 - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0, значит, \frac{14}{x^2 + 2x - 15} > 0
4. Так как требуется \frac{14}{x^2 + 2x - 15} \ge 0, то выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: (-∞; -5) ∪ (3; +∞)

Ответ: (-∞; -5) ∪ (3; +∞)