21. Тип 21 № 353092 i Расстояние между городами А и В равно 120 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 36 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Определим предмет и тему задания: задача по математике, движение.

Определим тип задания: вычисление.

Определим, что требуется в качестве результата: значение расстояния.

Обозначим расстояние от A до C за $$x$$, а скорость автомобиля за $$v$$.

Мотоциклист догнал автомобиль в городе C, значит, время в пути у них было разное, а расстояние одинаковое.

Время, которое был в пути автомобиль до города С: $$t_1 = \frac{x}{v}$$.

Мотоциклист выехал на 36 минут позже, то есть на $$\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$$ часа. Его время в пути: $$t_2 = \frac{x}{75}$$.

Тогда $$\frac{x}{v} - \frac{3}{5} = \frac{x}{75}$$.

Когда мотоциклист проехал половину пути от С до А, то есть $$\frac{x}{2}$$, автомобиль прибыл в город B, который находится на расстоянии 120 км от A.

Время автомобиля в пути до города B: $$t_3 = \frac{120}{v}$$.

Время мотоциклиста в пути: $$\frac{x}{75} + \frac{x}{2 \cdot 75} = \frac{x}{75} + \frac{x}{150}$$.

Разница между этими временами равна: $$\frac{120}{v} - (\frac{x}{75} + \frac{x}{150}) = \frac{3}{5}$$.

Имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{v} - \frac{3}{5} = \frac{x}{75} \\ \frac{120}{v} - \frac{x}{75} - \frac{x}{150} = \frac{3}{5} \end{cases}$$

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим $$\frac{1}{v}$$: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{75} + \frac{3}{5x}$$.

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{120}{v} - \frac{x}{75} - \frac{x}{150} = \frac{3}{5}$$,

$$120 \cdot (\frac{1}{75} + \frac{3}{5x}) - \frac{x}{75} - \frac{x}{150} = \frac{3}{5}$$,

$$\frac{120}{75} + \frac{360}{5x} - \frac{x}{75} - \frac{x}{150} = \frac{3}{5}$$,

$$\frac{8}{5} + \frac{72}{x} - \frac{2x + x}{150} = \frac{3}{5}$$,

$$\frac{8}{5} + \frac{72}{x} - \frac{3x}{150} = \frac{3}{5}$$,

$$\frac{8}{5} + \frac{72}{x} - \frac{x}{50} = \frac{3}{5}$$,

$$\frac{72}{x} = \frac{3}{5} - \frac{8}{5} + \frac{x}{50}$$,

$$\frac{72}{x} = -1 + \frac{x}{50}$$,

$$\frac{72}{x} = \frac{x - 50}{50}$$,

$$72 \cdot 50 = x(x - 50)$$,

$$3600 = x^2 - 50x$$,

$$x^2 - 50x - 3600 = 0$$.

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3600) = 2500 + 14400 = 16900 = 130^2$$.

$$x_1 = \frac{50 + 130}{2} = \frac{180}{2} = 90$$.

$$x_2 = \frac{50 - 130}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$.

Так как расстояние не может быть отрицательным, то $$x = 90$$.

Ответ: 90