Тип 11 № 12978 i На координатной плоскости даны точки А и прямая 1 (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой 1.

Ответ: 2

Координаты точки А (4; 2). Прямая l проходит через точки (0; 4) и (4; 0).

Уравнение прямой l: y = -x + 4.

Найдем координаты точки, симметричной точке A относительно прямой l.

1. Уравнение прямой, перпендикулярной l и проходящей через A: y = x + b.

Подставим координаты точки A: 2 = 4 + b, b = -2.

Уравнение прямой: y = x - 2.

2. Найдем точку пересечения этих прямых:

\[\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x - 2 \end{cases}\]

\[-x + 4 = x - 2\]

\[2x = 6\]

\[x = 3\]

\[y = 3 - 2 = 1\]

Точка пересечения (3; 1) является серединой отрезка между точкой A и симметричной ей точкой A'.

Пусть координаты точки A' (x'; y'). Тогда:

\[\frac{x + x'}{2} = 3\]

\[\frac{4 + x'}{2} = 3\]

\[4 + x' = 6\]

\[x' = 2\]

Аналогично:

\[\frac{y + y'}{2} = 1\]

\[\frac{2 + y'}{2} = 1\]

\[2 + y' = 2\]

\[y' = 0\]

Координаты точки A' (2; 0).

Сумма координат точки A': 2 + 0 = 2.

Ответ: 2