Тип 23 № 311666 Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и ВОС равны соответственно 16 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дана трапеция ABCD, диагонали которой пересекаются в точке O. Известны площади треугольников AOD и BOC, и нам нужно найти площадь всей трапеции. 1. Вспомним свойства подобных треугольников и площадей. Треугольники AOD и BOC подобны, так как углы при основаниях AD и BC равны (накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. 2. Найдем коэффициент подобия (k). Площадь треугольника AOD (\(S_{AOD}\)) равна 16 см², а площадь треугольника BOC (\(S_{BOC}\)) равна 9 см². Тогда: \[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2\] \[\frac{16}{9} = k^2\] \[k = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}\] 3. Найдем отношение высот треугольников AOD и BOC. Так как треугольники подобны с коэффициентом подобия \(\frac{4}{3}\), то и отношение их высот, проведённых из вершины O к основаниям AD и BC, также равно \(\frac{4}{3}\). 4. Найдем площади треугольников AOB и COD. Треугольники AOB и COD имеют одинаковую площадь. Обозначим эту площадь как \(S\). Известно, что \(\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} = \frac{OD}{OB}\) и \(\frac{S_{COD}}{S_{BOC}} = \frac{OD}{OB}\). Следовательно, \(\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} = \frac{S_{COD}}{S_{BOC}}\) или \(\frac{16}{S} = \frac{S}{9}\). Тогда \(S^2 = 16 \cdot 9 = 144\), значит \(S = \sqrt{144} = 12\). Таким образом, площадь каждого из треугольников AOB и COD равна 12 см². 5. Найдем площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырёх треугольников: \[S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD}\] \[S_{ABCD} = 16 + 9 + 12 + 12 = 49\]

Ответ: 49

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!