The user provided an image of a math problem. The task is to analyze the image and provide a JSON output based on the content.

Задание:

Определите, являются ли прямые, заданные уравнениями, параллельными, пересекающимися или совпадающими.

Система 6):

• \[ \begin{cases} 4x - 3y = 5 \\ -0.4x + 0.3y = -0.5 \end{cases} \]

Анализ системы 6):

Первое уравнение: $$4x - 3y = 5$$. Выразим $$y$$: $$3y = 4x - 5 ightarrow y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$$. Угловой коэффициент $$k_1 = \frac{4}{3}$$.

Второе уравнение: $$-0.4x + 0.3y = -0.5$$. Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$-4x + 3y = -5$$. Выразим $$y$$: $$3y = 4x - 5 ightarrow y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$$. Угловой коэффициент $$k_2 = \frac{4}{3}$$.

Так как угловые коэффициенты $$k_1$$ и $$k_2$$ равны, и свободные члены также равны, прямые совпадают.

Система в):

• \[ \begin{cases} 4x + 12y = -6 \\ -6x - 18y = 12 \end{cases} \]

Анализ системы в):

Первое уравнение: $$4x + 12y = -6$$. Разделим на 2: $$2x + 6y = -3$$. Выразим $$y$$: $$6y = -2x - 3 ightarrow y = -\frac{2}{6}x - \frac{3}{6} ightarrow y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}$$. Угловой коэффициент $$k_1 = -\frac{1}{3}$$.

Второе уравнение: $$-6x - 18y = 12$$. Разделим на -6: $$x + 3y = -2$$. Выразим $$y$$: $$3y = -x - 2 ightarrow y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$. Угловой коэффициент $$k_2 = -\frac{1}{3}$$.

Так как угловые коэффициенты $$k_1$$ и $$k_2$$ равны, а свободные члены ($$-\frac{1}{2}$$ и $$-\frac{2}{3}$$) не равны, прямые параллельны.

Ответ:

• Система 6): совпадают
• Система в): параллельны