The user has provided an image containing physics problems with handwritten solutions. I need to extract and format these problems and their solutions according to the provided schema.

Задача №12

Дано:
\( T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)
\( y = \text{ускорение свойственное ...} \)

Решение:

В данном изображении представлено несколько физических задач. Первая часть содержит общие формулы и определения, которые, вероятно, относятся к последующим задачам.

Задача №13

Дано:
\( v_x = - \omega x \sin \omega t \)
\( a_x = - \omega^2 x \cos \omega t \)

Решение:

Это записи для описания колебательного движения. \( v_x \) — проекция скорости на ось x, \( a_x \) — проекция ускорения на ось x, \( \omega \) — циклическая частота, \( x \) — амплитуда, \( t \) — время.

Задача №14

Дано:
\( l=20 \text{ см} = 0.2 \text{ м} \)

Решение:

Период колебаний математического маятника:
\( T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)
Где \( l \) — длина нити, \( g \) — ускорение свободного падения (примем \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \)).

Подставляем значения:

\( T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}} \approx 2 \pi \sqrt{0.0204} \approx 2 \pi \cdot 0.1428 \approx 0.897 \text{ с} \)

Запись \( T_2 = 2 \pi \sqrt{2g} \) и \( T_2 = 2 \pi = 0.8 \) с, похоже, относится к другой задаче или является ошибкой.

Задача №21

Дано:
\( m = 2002 = 0.2 \text{ кг} \)
\( N = 10 \)
\( t = 5 \text{ с} \)

Решение:

1. Находим период:

\( T = \frac{t}{N} = \frac{5}{10} = 0.5 \text{ с} \)

2. Находим ускорение свободного падения (g) из формулы периода:

\( T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)
\( T^2 = 4 \pi^2 \frac{l}{g} \)
\( g = 4 \pi^2 \frac{l}{T^2} \)

Примечание: Длина нити \( l \) не указана в этом разделе, но на фото есть запись \( l = 0.2 \) м из предыдущей задачи. Предположим, она используется здесь.*

\( g = 4 \pi^2 \frac{0.2}{(0.5)^2} = 4 \pi^2 \frac{0.2}{0.25} = 4 \pi^2 \cdot 0.8 \approx 3.14159^2 \cdot 3.2 \approx 9.8696 \cdot 3.2 \approx 31.58 \text{ м/с}^2 \)

Сделаем перерасчет, используя значение \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \) и пытаясь получить ответ \( 31,552 \) Н/м. Если \( v=9.3 \cdot 10^{-2} \) и \( 0.5^2 \), то это похоже на расчет силы или ускорения.*

Расчет по приведенным в тетради вычислениям:

\( v = \frac{9.3 \cdot 10^{-2}}{0.5^2} = \frac{0.093}{0.25} = 0.372 \)

\( v = \frac{9.86 \cdot 02}{0.25} = \frac{1.972}{0.25} = 7.888 \)

Запись \( v = 9.3^{10^{-2}} / 0.5^2 \) и \( 4.986 \cdot 02 / 0.25 \) не совсем ясна. Возможно, \( 02 \) это \( 0.2 \). Если \( v = 9.8 \cdot 0.2 / 0.25 = 1.96 / 0.25 = 7.84 \)*

Если \( v \) — это сила, то \( F = m a \). Если \( a \) — это \( g \), то \( F = m g = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1.96 \text{ Н} \).*

Предположим, что \( 31,552 \text{ Н/м} \) — это какая-то другая величина, рассчитанная по формуле, возможно, жесткость пружины \( k \), если это был пружинный маятник.*

Если \( T = 0.5 \text{ с} \) и \( m = 0.2 \text{ кг} \), то для пружинного маятника \( T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)*

\( T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k} \)
\( k = 4 \pi^2 \frac{m}{T^2} = 4 \pi^2 \frac{0.2}{(0.5)^2} = 4 \pi^2 \frac{0.2}{0.25} = 4 \pi^2 \cdot 0.8 \approx 31.58 \text{ Н/м} \)

Ответ: 31,552 Н/м