The user has provided an image containing a geometry problem. The image shows a triangle ABC with AB = BC, AC = 10, cos(C) = 0.8, and CH is perpendicular to AB. The question asks to find the length of CH.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( AC = 10 \), \( \cos \angle C = 0.8 \), \( CH \perp AB \).

Найти: \( CH \).

1. Так как \( AB = BC \), \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
2. По теореме косинусов в \( \triangle ABC \) найдём \( AB \):
   \[ AB^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \]
3. В равнобедренном \( \triangle ABC \) углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).
4. Тогда \( \cos \angle A = \cos \angle C = 0.8 \).
5. По теореме косинусов:
   \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \]Поскольку \( AB = BC \), обозначим эту длину как \( x \).
   \[ x^2 = x^2 + 10^2 - 2 \cdot x \cdot 10 \cdot 0.8 \]
6. Упростим уравнение:
   \[ x^2 = x^2 + 100 - 16x \]
7. \( 0 = 100 - 16x \)
8. \( 16x = 100 \)
9. \( x = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25 \). Таким образом, \( AB = BC = 6.25 \).
10. Площадь \( \triangle ABC \) можно найти двумя способами:
    1) Через основание \( AC \) и высоту, проведённую к нему.
    2) Через основание \( AB \) и высоту \( CH \).
11. Сначала найдём \( \sin \angle C \):
    \[ \sin^2 \angle C + \cos^2 \angle C = 1 \]
12. \( \sin^2 \angle C = 1 - 0.8^2 = 1 - 0.64 = 0.36 \)
13. \( \sin \angle C = \sqrt{0.36} = 0.6 \) (так как угол \( C \) в треугольнике, \( \sin \angle C > 0 \)).
14. Площадь \( \triangle ABC \) равна:
    \[ S = \frac{1}{2} AC · BC · \sin \angle C = \frac{1}{2} · 10 · 6.25 · 0.6 = 5 · 6.25 · 0.6 = 18.75 \]
15. Также площадь равна:
    \[ S = \frac{1}{2} AB · CH \]
16. Приравниваем площади:
    \[ 18.75 = \frac{1}{2} · 6.25 · CH \]
17. \( CH = \frac{2 · 18.75}{6.25} = \frac{37.5}{6.25} = 6 \)

Ответ: CH = 6.