The question relates to problem 2 which shows a right-angled triangle ABC with a height CD.

Задача 2: Анализ треугольника.

На изображении представлен прямоугольный треугольник ABC, где угол ACB равен 90 градусов. CD — высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB.

Известно:

• AC = 9
• BC = 4

Решение:

1. Находим длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 9^2 + 4^2 \]

\[ AB^2 = 81 + 16 \]

\[ AB^2 = 97 \]

\[ AB = \sqrt{97} \]

2. Находим площадь треугольника ABC двумя способами:

a) Через катеты:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 9 \times 4 = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \]

b) Через гипотенузу и высоту CD:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CD \]

Приравнивая площади:

\[ 18 = \frac{1}{2} \times \sqrt{97} \times CD \]

\[ 36 = \sqrt{97} \times CD \]

\[ CD = \frac{36}{\sqrt{97}} = \frac{36\sqrt{97}}{97} \]

3. Находим длины отрезков AD и DB, используя свойства высоты прямоугольного треугольника:

a) \[ AC^2 = AD \times AB \]

\[ 9^2 = AD \times \sqrt{97} \]

\[ 81 = AD \times \sqrt{97} \]

\[ AD = \frac{81}{\sqrt{97}} = \frac{81\sqrt{97}}{97} \]

b) \[ BC^2 = BD \times AB \]

\[ 4^2 = BD \times \sqrt{97} \]

\[ 16 = BD \times \sqrt{97} \]

\[ BD = \frac{16}{\sqrt{97}} = \frac{16\sqrt{97}}{97} \]

Проверка: AD + BD = \(\frac\){81\(\sqrt{97}\)}{97} + \(\frac\){16\(\sqrt{97}\)}{97} = \(\frac\){97\(\sqrt{97}\)}{97} = \(\sqrt{97}\) = AB. Верно.

Вывод: В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC=9 и BC=4, гипотенуза AB = \(\sqrt{97}\), высота CD = \(\frac\){36\(\sqrt{97}\)}{97}, отрезки гипотенузы AD = \(\frac\){81\(\sqrt{97}\)}{97} и DB = \(\frac\){16\(\sqrt{97}\)}{97}. Площадь треугольника равна 18.