The question asks to find the stationary points of the functions listed.

Стационарные точки функции:

1. \( y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x} \)
1. Найдём производную: \( y' = \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2} \).
2. Приравняем производную к нулю: \( \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2} = 0 \) \( \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{8}{x^2} \) \( \Rightarrow x^2 = 16 \) \( \Rightarrow x = \pm 4 \).
3. Найдем значения y: \( y(4) = \frac{4}{2} + \frac{8}{4} = 2 + 2 = 4 \). \( y(-4) = \frac{-4}{2} + \frac{8}{-4} = -2 - 2 = -4 \).
2. \( y = 2x^3 - 15x^2 + 36x \)
1. Найдём производную: \( y' = 6x^2 - 30x + 36 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 6x^2 - 30x + 36 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( (x-2)(x-3) = 0 \) \( \Rightarrow x = 2 \) или \( x = 3 \).
4. Найдем значения y: \( y(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) = 16 - 60 + 72 = 28 \). \( y(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) = 54 - 135 + 108 = 27 \).
3. \( y = e^{2x} - 2x \)
1. Найдём производную: \( y' = 2e^{2x} - 2 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 2e^{2x} - 2 = 0 \) \( \Rightarrow 2e^{2x} = 2 \) \( \Rightarrow e^{2x} = 1 \) \( \Rightarrow 2x = 0 \) \( \Rightarrow x = 0 \).
3. Найдем значение y: \( y(0) = e^{0} - 2(0) = 1 - 0 = 1 \).
4. \( y = \sin x - \cos x \)
1. Найдём производную: \( y' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \).
2. Приравняем производную к нулю: \( \cos x + \sin x = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = -\cos x \) \( \Rightarrow \tan x = -1 \).
3. Отсюда \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — целое число.
4. Найдем значения y. Для \( x = -\frac{\pi}{4} \): \( y = \sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \). Для \( x = \frac{3\pi}{4} \): \( y = \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \).

Ответ:

1) \( (4; 4) \) и \( (-4; -4) \).

2) \( (2; 28) \) и \( (3; 27) \).

3) \( (0; 1) \).

4) \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \) для всех целых \( n \).