The lesson went on for 45 minutes.
Предлог on используется, когда речь идет о продолжении какого-либо действия или события. В данном случае, урок продолжался 45 минут.
Предлог with используется, когда речь идет о сопровождении или совместном действии. В данном случае, использование with не подходит по смыслу.
Ответ: on