В первом пропуске нужно использовать глагол study (учиться) во времени Past Continuous, так как речь идет о действии, происходившем в определенный момент в прошлом.
Во втором пропуске нужно использовать глагол prepare (готовить) во времени Past Continuous, так как речь идет о действии, происходившем одновременно с первым действием в прошлом.
Правильные формы глаголов: Were the children studying и was preparing.
Were the children studying while their nanny was preparing their dinner?
Перевод: Дети учились, пока их няня готовила ужин?
Ответ:Were the children studying while their nanny was preparing their dinner?