tgx - 3ctg x + 2 = 0 ;

Решение:

Заменим \( ctg x \) на \( \frac{1}{tg x} \). Получим уравнение:

\[ tg x - \frac{3}{tg x} + 2 = 0 \]

Умножим обе части уравнения на \( tg x \) (при условии \( tg x \neq 0 \)):

\[ tg^2 x - 3 + 2 tg x = 0 \]

Приведём к стандартному виду квадратного уравнения, сделав замену \( y = tg x \):

\[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни уравнения:

\[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = tg x \):

1. \( tg x = 1 \)



Отсюда \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).



2. \( tg x = -3 \)



Отсюда \( x = -arctg(3) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Проверим условие \( tg x \neq 0 \). При \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -arctg(3) + \pi n \) значение \( tg x \) не равно нулю.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -arctg(3) + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).