tgx = √3 cosx = -1 sin² x – 2 sin x = (0 √3. 3 sin x + cos x = 0 sin x + 2sinx-3=0

Решение:

1) \[ tgx = \sqrt{3} \] Это табличное значение тангенса. Тангенс равен \(\sqrt{3}\) в угле \(\frac{\pi}{3}\) (60 градусов). Общее решение: \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] 2) \[ cosx = -1 \] Косинус равен -1 в угле \(\pi\) (180 градусов). Общее решение: \[ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] 3) \[ sin^2 x - 2sinx = 0 \] Вынесем sin x за скобку: \[ sinx(sinx - 2) = 0 \] Получаем два случая: а) \[ sinx = 0 \] Решение: \[ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) \[ sinx - 2 = 0 \] \[ sinx = 2 \] Это невозможно, так как \(|sinx| \le 1\) для всех x. 4) \[\frac{\sqrt{3}}{3}sinx + cosx = 0 \] Умножим обе части уравнения на 3: \[\sqrt{3}sinx + 3cosx = 0 \] Разделим обе части уравнения на \( cosx \) при условии, что \( cosx
eq 0 \): \[\sqrt{3}tgx + 3 = 0 \] \[tgx = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \] Это табличное значение тангенса. \( tgx = -\sqrt{3} \) при \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Проверим условие \( cosx
eq 0 \): если \( cosx = 0 \), то \( sinx = \pm 1 \), и уравнение не выполняется. Значит, это решение подходит. 5) \[ sin^2 x + 2sinx - 3 = 0 \] Сделаем замену \( t = sinx \), тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Вернемся к замене: а) \[ sinx = 1 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) \[ sinx = -3 \] Это невозможно, так как \(|sinx| \le 1\) для всех x.

Ответ: 1) \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 2) \[ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 3) \[ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 4) \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \); 5) \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]