tg' x - 3tg x + 2 = 0;

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( tg x \). Обозначим \( y = tg x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = tg x \):

1. \( tg x = 1 \)

Общее решение этого уравнения:

\[ x = \arctan(1) + \pi n \]

\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \], где \( n \) — любое целое число.

2. \( tg x = 2 \)

Общее решение этого уравнения:

\[ x = \arctan(2) + \pi k \], где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = \arctan(2) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).