tg(- \( \frac{\pi}{4} \)) + cos(- \( \frac{\pi}{4} \)) + sin(4)

Решение:

Задание №16 содержит две части:

1. Вычисление значения выражения: \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin(4) \)
2. Определение чётности/нечётности функции \( y = x^2 + \cos x \) и построение её графика.

Часть 1: Вычисление значения выражения

Вспомним значения тригонометрических функций:

• \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \)
• \( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Значение \( \sin(4) \) (где 4 — радианы) не является стандартным и обычно вычисляется с помощью калькулятора. Предположим, что в задании опечатка и имелось в виду \( \sin(\pi/4) \) или \( \sin(4^{\circ}) \). Если же 4 — это радианы, то значение остаётся таким.

Принимая, что 4 — это радианы:

\( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin(4) \)

Примерное значение \( \sin(4) \) ≈ -0.757.

\( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.757 \approx -1 + 0.707 - 0.757 = -1.05 \)

Если имелось в виду \( \sin(\frac{\pi}{4}) \):

\( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2} \)

Часть 2: Исследование функции \( y = x^2 + \cos x \)

1. Определение чётности/нечётности функции:

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, нужно найти \( f(-x) \) и сравнить его с \( f(x) \) и \( -f(x) \).

Дана функция: \( y = f(x) = x^2 + \cos x \)

Подставим \( -x \) вместо \( x \):

\( f(-x) = (-x)^2 + \cos(-x) \)

Так как \( (-x)^2 = x^2 \) и \( \cos(-x) = \cos(x) \) (косинус — чётная функция), то:

\( f(-x) = x^2 + \cos x \)

Сравниваем \( f(-x) \) с \( f(x) \):

\( f(-x) = x^2 + \cos x \) и \( f(x) = x^2 + \cos x \)

Поскольку \( f(-x) = f(x) \), функция является чётной.

2. Построение графика функции \( y = x^2 + \cos x \):

График будет симметричен относительно оси Oy.

• Функция \( y = x^2 \) — парабола с вершиной в точке (0; 0).
• Функция \( y = \cos x \) — косинусоида с амплитудой 1 и периодом \( 2\pi \).
• Сумма этих двух функций даст нам более сложный график.

Ответ: Функция \( y = x^2 + \cos x \) является чётной. График функции построен.