tg\(\alpha\) = \(\sqrt{15}\) cos 2 = \(\frac{1-\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}\)

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс половинного угла:

\[ \cos \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \]

Из условия нам дано \( \text{tg} \alpha = \sqrt{15} \). К сожалению, в таком виде задача не решается, так как формула связывает \( \cos \alpha \) с \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \), а не с \( \text{tg} \alpha \).

Возможно, в условии была опечатка, и имелось в виду найти \( \cos \alpha \) через \( \text{tg} \alpha \), используя соотношение \( \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} \).

Предположим, что задача заключается в нахождении \( \cos \alpha \) через \( \text{tg} \alpha \).

1. Возведём \( \text{tg} \alpha \) в квадрат: \( \text{tg}^2 \alpha = (\sqrt{15})^2 = 15 \).


2. Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).


3. Найдём \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + 15} = \frac{1}{16} \).


4. Извлечём квадратный корень, чтобы найти \( \cos \alpha \). Так как знак \( \alpha \) не определён, возможны два значения: \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{4} \).

Если же предполагалось найти \( \cos 2 \) (что маловероятно, так как \( \alpha \) — это угол) или \( \cos \alpha \) через формулу с \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \), то необходимо знать значение \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} \).

Примечание: В исходном изображении запись "cos 2" неясна. Если это \( \cos \alpha \), то решение приведено выше. Если это \( \cos(2 \alpha) \) или другой аргумент, требуется уточнение.

Ответ: \( \cos \alpha = \pm \frac{1}{4} \).